Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AP′⊥AB，BP′交AC于點(diǎn)P，AP=AP′．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）過點(diǎn)P′作P′E⊥AC于點(diǎn)E，求證：AE=CP．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形底角相等和∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°即可解題．
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，可證△APD≌△P′AE，可得AE=CP．

解答：解：（1）∵AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（對(duì)頂角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，

∠PAD=∠AP′E ∠ADP=∠P′EA=90° AP=AP′

，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中構(gòu)建△APD并求證△APD≌△P′AE是解題的關(guān)鍵．