Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜邊BC上的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF
（1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積．
（2）求證：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜邊的中線，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，；根據(jù)勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
（2）首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜邊的中線，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，即可得出答案．

解答：（1）解：連接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED與△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²；
∵BE=12，CF=5，
∵EF=13，
∵△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°．
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED²+DF²=13²，
DE=DF=

13 2

2

，
∴△DEF的面積S=

1

2

×DE×DF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

=

169

4

；

（2）證明：連接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED與△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．