Question

【題目】如圖：△ABC是等邊三角形，AB＝12，E是AC中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段AF的最小值為_____．

Answer 1

【答案】3+3

【解析】

連接BE，延長(zhǎng)EC到N，使EN＝BE，連接FN，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥FN于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝AB＝12，AE＝EC＝6，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝6＝EN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE＝EF，∠DEF＝90°，由“SAS“可證△BED≌△NEF，可得∠EBC＝∠ENF＝30°，可得點(diǎn)F在過(guò)點(diǎn)N且平行于AG的直線上，當(dāng)AF⊥FN時(shí)，AF的值最小，由直角三角形的性質(zhì)可求線段AF的最小值．

解：如圖，連接BE，延長(zhǎng)EC到N，使EN＝BE，連接FN，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥FN于H，

∵△ABC是等邊三角形，AB＝12，E是AC中點(diǎn)，AG⊥BC，

∴AC＝AB＝12，AE＝EC＝6，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝=6＝EN，

∵線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

∴DE＝EF，∠DEF＝90°，

∵∠BEC＝∠DEF＝90°，

∴∠BED＝∠FEN，且DE＝EF，BE＝EN，

∴△BED≌△NEF（SAS），

∴∠EBC＝∠ENF＝30°，

∴∠GAC＝∠ENF，

∴AG∥NF，

∴點(diǎn)F在過(guò)點(diǎn)N且平行于AG的直線上，

∴當(dāng)AF⊥FN時(shí)，AF的值最小，

∵AH⊥FN，∠ENF＝30°，

∴AH＝AN＝（6+6）＝3+3，

∴線段AF的最小值為3+3，

故答案為：3+3．