Question

【題目】如圖，點(diǎn)是雙曲線上的一個動點(diǎn)，連接并延長交雙曲線于點(diǎn)將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段若點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動，則_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連結(jié)AC、OC，易證AO⊥OC，；由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，可證△ADO∽△OEC．從而得到，；設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，則，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，從而有，即．

解：∵雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則OA=OB，

如圖，連結(jié)AC、OC，

∵將線段AB繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，

∴△ABC是等邊三角形，，

∴OC⊥AB，△AOC為直角三角形，

∴，

∴

過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，

∵，

∴，

則，

∴，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

∵，

∴，，

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)A在第一象限，

∴，

∴，，

又∵點(diǎn)在雙曲線上，

∴，

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)C在第四象限，

∴，，

∴，

∴，

∵點(diǎn)在雙曲線上，

∴，

故答案為：．