Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E做直線l∥BC．

（1）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BE=EF；

（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）直線l與⊙O相切；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）連接OE、OB、OC．由題意可證明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OE⊥BC，于是可證明OE⊥l，故此可證明直線l與⊙O相切；

（2）先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF，然后再證明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依據(jù)等角對(duì)等邊證明BE=EF即可；

（3）先求得BE的長(zhǎng)，然后證明△BED∽△AEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長(zhǎng)，于是可得到AF的長(zhǎng)．

試題解析：（1）直線l與⊙O相切．理由如下：

如圖1所示：連接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE．

∴．

∴∠BOE=∠COE．

又∵OB=OC，

∴OE⊥BC．

∵l∥BC，

∴OE⊥l．

∴直線l與⊙O相切．

（2）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，

∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，

∴∠EBF=∠EFB．

∴BE=EF．

（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．

∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，

∴△BED∽△AEB．

∴，即，解得；AE=，

∴AF=AE﹣EF=﹣7=．