Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．
（1）求證：①△ABG≌△AFG； ②BG=GC；
（2）求△FGC的面積．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根據(jù)HL定理即可證明兩三角形全等；
②不妨設(shè)BG=FG=x，（x＞0），則CG=6-x，EG=2+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得：S_△FGC=

3

5

S_△EGC，即可求解．

解答：解：（1）證明：①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，
又∵△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G
∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，
即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，

AB=AF AG=AG

，
∴△ABG≌△AFG；
②∵AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，
∴DE=FE=2，CE=4，
不妨設(shè)BG=FG=x，（x＞0），
則CG=6-x，EG=2+x，
在Rt△CEG中，（2+x）²=4²+（6-x）²
解得x=3，于是BG=GC=3，
（2）∵

GF

FE

=

3

2

，
∴

GF

GE

=

3

5

，
∴S_△FGC=

3

5

S_△EGC=

3

5

×

1

2

×4×3=

18

5

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，以及圖形的折疊的性質(zhì)，三角形全等的證明，理解折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵．