Question

已知正方形ABCD中，Q是CD上一點(diǎn)，BQ交AC于點(diǎn)E，EF⊥BQ交AD于點(diǎn)F，連接FQ、BF，若AB=2，則△DFQ周長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：連接DE，延長(zhǎng)DA至G，使得AG=CQ，連接BG，證出△BAE≌△DAE，推出BE=DE，∠ADE=∠ABE，求出△FEB是等腰直角三角形，推出∠EBF=45°，證出△GAB≌△QCB，推出BG=BQ；∠ABG=∠CBQ，求出∠GBF=∠QBF，證△GBF≌△QBF，推出QF=GF=AG+AF=CQ+AF，求出△DFQ周長(zhǎng)=DF+DQ+QF=2AB=4即可．

解答：
解：如圖所示，連接DE，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD；∠BAE=∠DAE=45°，∠BAD=90°
在△BAE和△DAE中，

AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE

，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE，∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥BQ，
∴∠FEB=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AFE=180°，
∵∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠ABE=∠ADE，
∴EF=DE，
∵DE=BE，
∴EF=BE，
即△FEB是等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠CBQ=45°，
延長(zhǎng)DA至G，使得AG=CQ，
在△GAB和△QCB中

AB=BC ∠GAB=∠QCB=90° AG=CQ

∴△GAB≌△QCB（SAS），
∴BG=BQ；∠ABG=∠CBQ，
∴∠GBF=∠ABG+∠ABF=∠ABF+∠CBQ=45°=∠QBF，
在△GBF和△QBF中

BF=BF ∠GBF=∠QBF BG=BQ

∴△GBF≌△QBF（SAS），
∴QF=GF=AG+AF=CQ+AF，
∴△DFQ周長(zhǎng)=DF+DQ+QF=DF+DQ+AF+CQ=AD+DC=2AB=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．