Question

【題目】已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，作EG⊥AB于H，交BC于F，延長(zhǎng)GE交直線MC于D，且∠MCA＝∠B，求證：

（1）MC是⊙O的切線；

（2）△DCF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得到∠2+∠3=90°，再證明∠1=∠3得到∠1+∠2=90°，即∠OCM=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論；

（2）利用EG⊥AB得到∠B+∠BFH=90°，利用對(duì)頂角相等得到∠4+∠B=90°，而根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠5+∠3=90°，從而得到∠4=∠5，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理可得結(jié)論．

證明：（1）連接OC，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

即∠2+∠3＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠3，

而∠1＝∠B，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝90°，

即∠OCM＝90°，

∴OC⊥CM，

∴MC是⊙O的切線；

（2）∵EG⊥AB，

∴∠B+∠BFH＝90°，

而∠BFH＝∠4，

∴∠4+∠B＝90°，

∵MD為切線，

∴OC⊥CD，

∴∠5+∠3＝90°，

而∠3＝∠B，

∴∠4＝∠5，

∴△DCF是等腰三角形．