Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點D、E，與AB分別相交于點G、H，且DG的延長線與CB的延長線交于點F，分析下列四個結論：①HG=2；②BG=BF；③AH=BG=；④CF= .其中正確的結論個數有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

如右圖所示，連接OD、OE，根據切線的性質得到∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，據等腰直角三角形的性質得到∠C=90°，∠A=45°，得到四邊形DCEO是正方形，求得OD=AD=AC=1，于是得到HG=2OD=2；故①正確；求得∠EOB=45°，得到∠ODG=135°，得到∠OGD=∠ODG=22.5°，根據等腰三角形的性質得到BG=BF，故②正確；根據角平分線的判定定理得到O在∠ACB的角平分線上，根據等腰三角形的性質得到O是AB中點，求得AD=CD=OD=OE=1，得到OG=1，根據勾股定理得到AB=

AC=，于是得到AH=BG=，故③正確；CF=2+BF=．故④正確．

如右圖所示，連接OD、OE，

∵⊙O與AC、BC切于點D. E，

∴∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠C=90°,∠A=45°，

∴四邊形DCEO是正方形，

∴OD∥BC，OE=OD，OD⊥AC，

△ADO是等腰直角三角形，

∴OD=AD=AC=1，

∴HG=2OD=2；故①正確；

∵AC=BC,∴∠A=∠ABC=45°，

∴∠EOB=45°，

∴∠ODG=135°，

∵OD=OG，

∴∠OGD=∠ODG=22.5°，

∴∠BGF=22.5°，

∵∠BGF+∠F=∠ABC=45°，

∴∠F=22.5°，

∴BG=BF，故②正確；

∵OE=OD，

∴O在∠ACB的角平分線上，

∴O是AB中點，

∴AD=CD，

又∵AC=2，

∴AD=CD=OD=OE=1，

∴OG=1，

又∵ABAC=，

∴OB=，

∴BG=OBOG=，

同理AH=BG=，故③正確；

∴CF=2+BF=.故④正確。

故選D.