Question

【題目】當(dāng)m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足m+n＝mn時(shí)，就稱點(diǎn)P（m，）為“完美點(diǎn)”．

（1）若點(diǎn)E為完美點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為　 　；若點(diǎn)F為完美點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為　 　；

（2）完美點(diǎn)P在直線　 　（填直線解析式）上；

（3）如圖，已知點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)M都在直線y＝﹣x+5上，點(diǎn)B，C是“完美點(diǎn)”，且點(diǎn)B在直線AM上．若MC＝，AM＝4，求△MBC的面積．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）y＝x﹣1；（3）△MBC的面積=.

【解析】

（1）把m＝2和3分別代入m+n＝mn，求出n即可；

（2）求出兩條直線的解析式，再把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；

（3）由m+n＝mn變式為＝m﹣1，可知P（m，m﹣1），所以在直線y＝x﹣1上，點(diǎn)A（0，5）在直線y＝﹣x+b上，求得直線AM：y＝﹣x+5，進(jìn)而求得B（3，2），根據(jù)直線平行的性質(zhì)從而證得直線AM與直線y＝x﹣1垂直，然后根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．

（1）把m＝2代入m+n＝mn得：2+n＝2n，

解得：n＝2，

即＝＝1，

所以E的縱坐標(biāo)為1；

把m＝3代入m+n＝mn得：3+n＝3n，

解得：n＝，

即，

所以F的縱坐標(biāo)為2；

故答案為：1，2；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

從圖象可知：與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）A（0，5），

代入得：，

解得：k＝﹣1，b＝5，

即直線AB的解析式是y＝﹣x+5，

設(shè)直線BC的解析式為y＝ax+c，

從圖象可知：與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

代入得：，

解得：a＝1，c＝﹣1，

即直線BC的解析式是y＝x﹣1，

∵P（m，），m+n＝mn且m，n是正實(shí)數(shù)，

∴除以n得：，即

∴P（m，m﹣1）即“完美點(diǎn)”P在直線y＝x﹣1上；

故答案為：y＝x﹣1；

（3）∵直線AB的解析式為：y＝﹣x+5，直線BC的解析式為y＝x﹣1，

∴，

解得：，

∴B（3，2），

∵一、三象限的角平分線y＝x垂直于二、四象限的角平分線y＝﹣x，而直線y＝x﹣1與直線y＝x平行，直線y＝﹣x+5與直線y＝﹣x平行，

∴直線AM與直線y＝x﹣1垂直，

∵點(diǎn)B是直線y＝x﹣1與直線AM的交點(diǎn)，

∴垂足是點(diǎn)B，

∵點(diǎn)C是“完美點(diǎn)”，

∴點(diǎn)C在直線y＝x﹣1上，

∴△MBC是直角三角形，

∵B（3，2），A（0，5），

∴

∵，

∴

又∵，

∴BC＝1，

∴S△MBC＝．