Question

如圖，AD是△ABC的外角平分線，CD⊥AD于D，E是BC的中點．求證：
（1）DE∥AB；     
（2）DE=

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）延長CD交BA的延長線于F，利用“角邊角”證明△ACD和△AFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD=DF，然后判斷出DE是△BCF的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可；
（2）求出AC=AF，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可．

解答：證明：（1）如圖，延長CD交BA的延長線于F，
∵AD是△ABC的外角平分線，CD⊥AD，
∴∠CAD=∠FAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF，
∵E是BC的中點，
∴DE是△BCF的中位線，
∴DE∥AB；

（2）∵△ACD≌△AFD，
∴AC=AF，
∴AB+AC=BF，
∵DE是△BCF的中位線，
∴DE=

1

2

BF=

1

2

（AB+AC）．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出以DE為中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．