【題目】如圖,正方形ABCD頂點(diǎn)A,D在⊙O上,邊BC經(jīng)過⊙O上一定P,且PF平分∠AFC,邊 AB,CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF.

(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若FC=2,求PC的長.

【答案】
(1)證明:連接OP,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC,

∵PF平分∠AFC,

∴∠AFP=∠PFC,

∵OP=OF,

∴∠AFP=∠OPF,

∴∠PFC=∠OPF,

∴OP∥CD,

∴∠BPO=∠C=90°,

∴OP⊥BC,

∴BC是⊙O的切線;


(2)解:連接AP,∵∠D=90°,∴AF是⊙O的直徑,

∴∠AEF=∠APF=90°,

∴∠BEF=∠B=∠C=90°,

∵OP∥CD,∴OP∥CD∥BA,

∴BP= BC= BA,

∵∠APB+∠FPC=90°,∠PFC+∠FPC=90°,

∴∠APB=∠PFC,

∵∠B=∠C=90°,

∴△APB∽△PFC,

,∴ ,

∴PC=2FC=4.


【解析】(1)連接OP,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明∠OPF=∠OFP,然后結(jié)合角平分線的定義可得到∠OPF=∠PFC,接下來,可證明OP∥FC,最后,平行線的性質(zhì)可證明OP⊥BC;
(2)連接AP,首先證明△APB∽△PFC,然后再依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì),掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(t+1,t+2),點(diǎn)B(t+3,t+1),將點(diǎn)A向右平移3個(gè)長度單位,再向下平移4個(gè)長度單位得到點(diǎn)C.

(1)用t表示點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______;t表示點(diǎn)By軸的距離為___________;

(2)若t=1時(shí),平移線段AB,使點(diǎn)A、B到坐標(biāo)軸上的點(diǎn)處,指出平移的方向和距離,并求出點(diǎn)、的坐標(biāo);

(3)若t=0時(shí),平移線段ABMN點(diǎn)A與點(diǎn)M對應(yīng)),使點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上,三角形MNB的面積為4,試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,已知是等邊三角形,點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),連結(jié),將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié)并延長交射線于點(diǎn)

1)如圖1,當(dāng)時(shí),________,猜想________

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)時(shí),猜想的度數(shù),并說明理由;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),FCA延長線上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,則四邊形AEDF的周長為( 。

A. 16 B. 20 C. 18 D. 22

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀第(1)題解答過程填理由,并解答第(2)題

1)已知:如圖1,ABCDPAB,CD之間一點(diǎn),求∠B+∠C+∠BPC的大。

解:過點(diǎn)PPMAB

ABCD(已知)

PMCD   ,

∴∠B+∠1180°,   

∴∠C+∠2180°

∵∠BPC=∠1+∠2

∴∠B+∠C+∠BPC360°

2)我們生活中經(jīng)常接觸小刀,如圖2小刀刀柄外形是一個(gè)直角梯形挖去一個(gè)小半圈,其中AFEG,∠AEG90°,刀片上、下是平行的(ABCD),轉(zhuǎn)動刀片時(shí)會形成∠1和∠2,那么∠1+∠2的大小是否會隨刀片的轉(zhuǎn)動面改變,如不改變,求出其大小;如改變,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,ABCD,BCCD,E是AD的中點(diǎn),連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F.

(1)請連結(jié)AF、BD,試判斷四邊形ABDF是何種特殊四邊形,并說明理由.

(2)若AB=4,BC=5,CD=6,求BCF的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y= 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為( )

A.
B.
C.
D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】1)閱讀思考:

小迪在學(xué)習(xí)過程中,發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離可以用表示這兩點(diǎn)數(shù)的差來表示,探索過程如下:

如圖1所示,線段AB,BC,CD的長度可表示為:AB341,BC54﹣(﹣1),CD3=(﹣1)﹣(﹣4),于是他歸納出這樣的結(jié)論:如果點(diǎn)A表示的數(shù)為a,點(diǎn)B表示的數(shù)為b,當(dāng)ba時(shí),ABba(較大數(shù)﹣較小數(shù)).

2)嘗試應(yīng)用:

①如圖2所示,計(jì)算:OE   EF   ;

②把一條數(shù)軸在數(shù)m處對折,使表示﹣192019兩數(shù)的點(diǎn)恰好互相重合,則m   ;

3)問題解決:

①如圖3所示,點(diǎn)P表示數(shù)x,點(diǎn)M表示數(shù)﹣2,點(diǎn)N表示數(shù)2x+8,且MN4PM,求出點(diǎn)P和點(diǎn)N分別表示的數(shù);

②在上述①的條件下,是否存在點(diǎn)Q,使PQ+QN3QM?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q所表示的數(shù);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】南沙群島是我國固有領(lǐng)土,現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè),當(dāng)漁船航行至B處時(shí),測得該島位于正北方向20(1+ )海里的C處,為了防止某國海巡警干擾,就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航,已知C位于A處的北偏東45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之間的距離.

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