【題目】△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD為AB邊上的高,如圖1,A在原點(diǎn)處,點(diǎn)B在y軸正半軸上,點(diǎn)C在第一象限,若A從原點(diǎn)出發(fā),沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)B隨之沿y軸下滑,并帶動(dòng)△ABC在平面上滑動(dòng).如圖2,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表為t秒,當(dāng)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)t=0時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t=4時(shí),求OD的長及∠BAO的大。
(3)求從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長;
(4)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心,CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí),求t的值.
【答案】
(1)
解:如圖1,
∵BC=AC,CD⊥AB,
∴D為AB的中點(diǎn),
∴AD= AB=4.
在Rt△CAD中,CD= =3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4)
(2)
解:如圖2,
當(dāng)t=4時(shí),AO=4,
在Rt△ABO中,D為AB的中點(diǎn),OD= AB=4,
∴OA=OD=AD=4,
∴△AOD為等邊三角形,
∴∠BAO=60°
(3)
解:如圖3,
從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線是弧DD1,其中,OD=OD1=4,
又∵∠D1OD=90°﹣60°=30°,
∴
(4)
解:分兩種情況:①設(shè)AO=t1時(shí),⊙C與x軸相切,A為切點(diǎn),如圖4.
∴CA⊥OA,
∴CA∥y軸,
∴∠CAD=∠ABO.
又∵∠CDA=∠AOB=90°,
∴Rt△CAD∽R(shí)t△ABO,
∴ ,即 = ,
解得t1= ;
②設(shè)AO=t2時(shí),⊙C與y軸相切,B為切點(diǎn),如圖5.
同理可得,t2= .
綜上可知,當(dāng)以點(diǎn)C為圓心,CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí),t的值為 或
【解析】(1)先由BC=AC,CD為AB邊上的高,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出D為AB的中點(diǎn),則AD= AB=4,然后在Rt△CAD中運(yùn)用勾股定理求出CD=3,進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)如圖2,當(dāng)t=4時(shí)即AO=4,先由D為AB的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OD= AB=4,則OA=OD=AD=4,判定△AOD為等邊三角形,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BAO=60°;(3)從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線是弧DD1 , 由∠D1OD=30°,OD=4,根據(jù)弧長的計(jì)算公式求解;(4)分兩種情況:①⊙C與x軸相切,根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△CAD∽△ABO,得出 ,求出AO的值;②⊙C與y軸相切,同理,可求出AO的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.把△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△AB'C',若AB=4,則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是( )
A.
π
B.
π
C.2π
D.4π
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,E為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DF⊥DE,與BC延長線交于點(diǎn)F.連接EF,與CD邊交于點(diǎn)G,與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H.
(1)若BF=BD=,求BE的長;
(2)若∠ADE=2∠BFE,求證:FH=HE+HD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】決心試一試,請(qǐng)閱讀下列材料:計(jì)算:
解法一:原式=
=
=
解法二:原式=
=
=
=
解法三:原式的倒數(shù)為:
=
=﹣20+3﹣5+12
=﹣10
故原式 =
上述得出的結(jié)果不同,肯定有錯(cuò)誤的解法,你認(rèn)為解法 是錯(cuò)誤的,在正確的解法中,你認(rèn)為解法 最簡捷.然后請(qǐng)解答下列問題,計(jì)算:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分A(-2,-2),B(-4,-1),C(-4,-4).
(1)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'.若把點(diǎn)A'向右平移a個(gè)單位長度后落在
△A1B1C1的內(nèi)部(不包括頂點(diǎn)和邊界),求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A、B兩款汽車,已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬元,B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬元.
公司預(yù)計(jì)用不多于135萬元且不少于129萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共20輛,有幾種進(jìn)貨方案,它們分別是什么?
如果A款汽車每輛售價(jià)為9萬元,B款汽車每輛售價(jià)為8萬元,為打開B款汽車的銷路,公司決定每售出一輛B款汽車,返還顧客現(xiàn)金a萬元,要使中所有的方案獲利相同,a值應(yīng)是多少,此種方案是什么?(提示:可設(shè)購進(jìn)B款汽車x輛)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l∥AB,l與AB之間的距離為2.C、D是直線l上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C在D點(diǎn)的左側(cè)),且AB=CD=5.連接AC、BC、BD,將△ABC沿BC折疊得到△A′BC.下列說法:①四邊形ABCD的面積始終為10;②當(dāng)A′與D重合時(shí),四邊形ABDC是菱形;③當(dāng)A′與D不重合時(shí),連接A′、D,則∠CA′D+∠BCA′=180°;④若以A′、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,則此矩形相鄰兩邊之和為3或7.其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:(1)相反數(shù)是本身的數(shù)是正數(shù);(2)兩數(shù)相減,差小于被減數(shù);(3)絕對(duì)值等于它相反數(shù)的數(shù)是負(fù)數(shù);(4)倒數(shù)是它本身的數(shù)是1;(5)若,則a=b;(6)沒有最大的正數(shù),但有最大的負(fù)整數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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