Question

【題目】已知在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC方向移動(dòng)．在AD右側(cè)以AD為腰作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．連接CE．

（1）求證：△ACE≌△ABD；

（2）點(diǎn)D在移動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)猜想CE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若AC＝，當(dāng)CD＝1時(shí)，結(jié)合圖形，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng) ．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；(3)或

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAE，進(jìn)而利用SAS可證明△ABD≌△ACE；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，由三角形全等的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE＝45°，易得∠ECD＝90°，然后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論，同理可得點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)CE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，首先求出BC，然后可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE的長(zhǎng)，利用勾股定理可得答案，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可求DE.

解：（1）∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，

∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD與△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝45°，

∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，

∴△ECD是直角三角形，

∴CE2＋CD2＝DE2，

當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，同理可得：CE2＋CD2＝DE2；

（3）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，

∵△ABD≌△ACE，AC＝，CD＝1，

∴BC=AC=2，

∴BD=BC-CD=1，

∴CE=1，

∴，

當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，同理可得CE=BD= BC+CD=3，

∴，

綜上所述，DE的長(zhǎng)為或.