Question

如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

sin²A₁+sin²B₁=

 

；sin²A₂+sin²B₂=

 

；sin²A₃+sin²B₃=

 

．
（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A+sin²B=

 

．
（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=

5

13

，求sinB．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系,解直角三角形

專題：幾何綜合題,規(guī)律型

分析：（1）由前面的結(jié)論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A+sin²B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，則sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

，再根據(jù)勾股定理得到a²+b²=c²，從而證明sin²A+sin²B=1；
（3）利用關(guān)系式sin²A+sin²B=1，結(jié)合已知條件sinA=

5

13

，進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由圖可知：sin²A₁+sin²B₁=（

1

2

）²+（

3

2

）²=1；
sin²A₂+sin²B₂=（

1

2

）²+（

1

2

）²=1；
sin²A₃+sin²B₃=（

3

5

）²+（

4

5

）²=1．
觀察上述等式，可猜想：sin²A+sin²B=1．

（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

，
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴sin²A+sin²B=1．

（3）∵sinA=

5

13

，sin²A+sin²B=1，
∴sinB=

1-( 5 13

)2=

12

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單．