Question

已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CF⊥AB于點(diǎn)F，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為BD中點(diǎn)，連接AE交CF于點(diǎn)H，連接CE．
（1）求證：點(diǎn)H是CF中點(diǎn)；
（2）若⊙O的半徑為2，BE=3，求CF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CF⊥AB于點(diǎn)F，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，易證得CF∥BD，即可得△AFH∽△ABE，△ACH∽△ADE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得點(diǎn)H是CF中點(diǎn)；
（2）首先連接BC，易得Rt△ABC∽Rt△ADB，△ACF∽△ADB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：（1）證明：∵BD是⊙O的切線，
∴DB⊥AB，
∴CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△ACH∽△ADE，
∴

CH

DE

=

AH

AE

=

FH

BE

，
∵E為BD中點(diǎn)，
即DE=BE，
∴CH=FH，
即點(diǎn)H是CF中點(diǎn)；

（2）解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BE=3，
∴BD=2BE=6，
在Rt△ABD中，AB=4，
∴AD=

AB2+BD2

=2

13

，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴

AC

AB

=

AB

AD

，即

AC

4

=

4

2 13

，
∴AC=

8 13

13

，
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴

CF

BD

=

AC

AD

，即

CF

6

=

8 13 13

2 13

，
∴CF=

24

13

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．