Question

【題目】如果的兩個(gè)端點(diǎn)分別在的兩邊上(不與點(diǎn)重合)，并且除端點(diǎn)外的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部，則稱(chēng)是的“連角弧”．

(1)圖1中，是直角，是以為圓心，半徑為1的“連角弧”．

①圖中的長(zhǎng)是______，并在圖中再作一條以為端點(diǎn)、長(zhǎng)度相同的“連角弧”；

②以為端點(diǎn)，弧長(zhǎng)最長(zhǎng)的“連角弧”的長(zhǎng)度是_______．

(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，若是半圓，也是的“連角弧”，求的取值范圍．

(3)如圖3，已知點(diǎn)分別在射線上，是的“連角弧”，且所在圓的半徑為，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ①，作圖見(jiàn)解析；② ；(2) 1≤t≤3；(3) 0°<∠AOB≤30°；

【解析】

(1) ①根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，即可得到答案；以ON、OM為邊長(zhǎng)做正方形OMHN，再以H為圓心，OM為半徑畫(huà)弧，即可得到；②根據(jù)直徑所對(duì)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，計(jì)算即可得到答案；

(2)當(dāng)MN垂直x軸交x軸于N點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t最��；當(dāng)MN垂直ON時(shí)，此時(shí)t最大，分這兩種情況分別求出t即可得到t的范圍；

(3)分OM⊥MN時(shí)，取到角度最大值，計(jì)算求解出角度的大小即可得到答案；

(1) ①根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到：；

以ON、OM為邊長(zhǎng)做正方形OMHN，再以H為圓心，OM為半徑畫(huà)弧，得到一條以為端點(diǎn)、長(zhǎng)度相同的“連角弧”；作圖如下：

②為端點(diǎn)，取得弧長(zhǎng)最長(zhǎng)的“連角弧”時(shí)，即當(dāng)圓與OA,和OB分別相切于點(diǎn)M,N點(diǎn)時(shí)，

∵OM=ON=1，

∴，

即以為端點(diǎn)，弧長(zhǎng)最長(zhǎng)的“連角弧”的長(zhǎng)度是；

(2)當(dāng)MN垂直x軸交x軸于N點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t最小，如果N再向左，則MN不是直徑，即是半圓，所以如圖取得最小值：

∵，

∴，并且∠MON=60°，

∴ON=1（直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），

即此時(shí)t=1；

當(dāng)MN垂直ON時(shí)，此時(shí)t最大，如果N再向右，則是不是半圓，如圖t取得最大值：

∵，

∴，并且∠MON=30°，

∴ON=4（直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）；

綜上，t的范圍是1≤t≤4；

(3) 0°<∠AOB≤30°