Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設△PBC的面積為S．

①求S關于t的函數表達式；

②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）當t=2時，點M的坐標為（1，6）；當t≠2時，不存在，理由見解析；（3）y=﹣x+3；P點到直線BC的距離的最大值為，此時點P的坐標為（，）．

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，由點A、B的坐標可得出對稱軸l為直線x=1，分t=2和t≠2兩種情況考慮：當t=2時，由拋物線的對稱性可得出此時存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，再根據點C的坐標利用平行四邊形的性質可求出點P、M的坐標；當t≠2時，不存在，利用平行四邊形對角線互相平分結合CE≠PE可得出此時不存在符合題意的點M；

（3）①過點P作PF∥y軸，交BC于點F，由點B、C的坐標利用待定系數法可求出直線BC的解析式，根據點P的坐標可得出點F的坐標，進而可得出PF的長度，再由三角形的面積公式即可求出S關于t的函數表達式；

②利用二次函數的性質找出S的最大值，利用勾股定理可求出線段BC的長度，利用面積法可求出P點到直線BC的距離的最大值，再找出此時點P的坐標即可得出結論．

（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得：，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3；

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，

∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

當t=2時，點C、P關于直線l對稱，此時存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，

∵拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3，

∴點C的坐標為（0，3），點P的坐標為（2，3），

∴點M的坐標為（1，6）；

當t≠2時，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，

∵點C的橫坐標為0，點E的橫坐標為0，

∴點P的橫坐標t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在圖2中，過點P作PF∥y軸，交BC于點F．

設直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得，解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∵點P的坐標為（t，﹣t2+2t+3），

∴點F的坐標為（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=PFOB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

②∵﹣＜0，

∴當t=時，S取最大值，最大值為．

∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），

∴線段BC=，

∴P點到直線BC的距離的最大值為，

此時點P的坐標為（，）．