Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸的交點為A(0，3)，與x軸的交點分別為B(2，0)，C(6，0)．直線AD∥x軸，在x軸上位于點B右側有一動點E，過點E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點分別為P，Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點E在線段BC上時，求△APC面積的最大值；

（3）是否存在點P，使以A，P，Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣2x+3；(2)；(3)存在，(，0)或(，0)或(14，0)

【解析】

(1)按交點式設成拋物線解析式，再將點A坐標代入，即可得出結論；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，進而表示出PF，利用三角形的面積公式得出S=﹣(t﹣3)2+，即可得出結論；

(3)①再分2＜t＜8和t＞時，表示出AQ=t，PQ=﹣t2+2t，再分兩種情況，利用相似三角形的對應邊成比例建立方程求解即可得出結論．

(1)∵拋物線B(2，0)、C(6，0)，

∴設拋物線為：，

把點A(0，3)代入，

得，

∴a，

∴該拋物線解析式為：；

(2)設直線AC的解析式為：，

∴，

解得，

∴直線AC的解析式為：，

設△APC面積為S，

如圖，設直線l與AC交點為F，

設P(t，t2﹣2t+3)(2≤t≤6)，則F(t，﹣t+3)，

∴PF=﹣t+3-(t2﹣2t+3)t2+t，

∴St2×6

=﹣2+，

∴當t=3時，S最大值，

即△APC面積的最大值為；

(3)存在點P，

理由：連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，

∵點A、B的坐標分別為(0，3)、(2，0)，

∴AO=3，BO=2，

設點E的坐標為(t，0)(＞2)，

則Q(t，3)，P(t，t2﹣2t+3)，

當t2﹣2t+3=3時，此時，點P，Q重合，即t=0(舍)或t=8，不能構成△APQ，

∴t≠8，

①當2＜t＜8時，AQ=t，PQ=3-(t2﹣2t+3)=﹣t2+2t，

當△AOB∽△AQP時，

∴，

∴，

解得：t=0(舍)或t=，

∴點E的坐標為(，0)，

若△AOB∽△PQA，

則，

∴，

解得：t=0(舍)或t=2(舍)，

②當t＞8時，AQ=t， PQ=t2﹣2t+3-3=t2-2t，

若△AOB∽△AQP，

則∴，

∴，

解得：t=0(舍)或t=，

∴點E的坐標為(，0)，

若△AOB∽△PQA，

則，

即，

解得：t=0(舍)或t=14，

∴點E的坐標為(14，0)，

綜上所述，點E的坐標為(，0)或(，0)或(14，0)．