Question

如圖，已知拋物線y=

k

8

（x+2）（x-4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y=-

3

3

x+b與拋物線的另一交點為D．
（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）首先求出點A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得k的值；
（2）因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進行分類討論，分別計算；
（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+

1

2

DF．如答圖3，作輔助線，將AF+

1

2

DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

解答：解：（1）拋物線y=

k

8

（x+2）（x-4），
令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直線y=-

3

3

x+b經(jīng)過點B（4，0），
∴-

3

3

×4+b=0，解得b=

4 3

3

，
∴直線BD解析式為：y=-

3

3

x+

4 3

3

．
當x=-5時，y=3

3

，
∴D（-5，3

3

）．
∵點D（-5，3

3

）在拋物線y=

k

8

（x+2）（x-4）上，
∴

k

8

（-5+2）（-5-4）=3

3

，
∴k=

8 3

9

．
∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=

8 3

9

（x+2）（x-4）．

（2）由拋物線解析式，令x=0，得y=-k，
∴C（0，-k），OC=k．
因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．
因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2-1所示．
設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：

k

2

=

y

x+2

，
∴y=

k

2

x+k．
∴P（x，

k

2

x+k），代入拋物線解析式y(tǒng)=

k

8

（x+2）（x-4），
得

k

8

（x+2）（x-4）=

k

2

x+k，整理得：x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2（與點A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴

AC

AB

=

AB

AP

，即

k2+4

6

=

6

25k2+100

，
解得：k=

4 5

5

．
②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2-2所示．
與①同理，可求得：k=

2

．
綜上所述，k=

4 5

5

或k=

2

．

（3）如答圖3，由（1）知：D（-5，3

3

），
如答圖2-2，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3

3

，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA=

DN

BN

=

3 3

9

=

3

3

，
∴∠DBA=30°．

過點D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．
過點F作FG⊥DK于點G，則FG=

1

2

DF．
由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+

1

2

DF，
∴t=AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．
由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．
過點A作AH⊥DK于點H，則t_最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求之F點．
∵A點橫坐標為-2，直線BD解析式為：y=-

3

3

x+

4 3

3

，
∴y=-

3

3

×（-2）+

4 3

3

=2

3

，
∴F（-2，2

3

）．
綜上所述，當點F坐標為（-2，2

3

）時，點M在整個運動過程中用時最少．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計算過程中，解析式中含有未知數(shù)k，增加了計算的難度，注意解題過程中的技巧；第（3）問中，運用了轉(zhuǎn)化思想使得試題難度大大降低，需要認真體會．