【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,弦CD與AB交于點E,連接AD,過點A作直線MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求證:直線MN是⊙O的切線.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)由圓周角定理得到∠ACB=90°,求得∠BAM=90°,根據(jù)垂直的定義得到AB⊥MN,即可得到結(jié)論;
(2)連接OC,過E作EH⊥OC于H,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠D=30°,求得∠AOC=60°,解直角三角形得到,根據(jù)相交弦定理得到結(jié)論.
(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∵∠B=∠D,∠MAC=∠ADC,
∴∠B=∠MAC,
∴∠MAC+∠CAB=90°,
∴∠BAM=90°,
∴AB⊥MN,
∴直線MN是⊙O的切線;
(2)解:連接OC,過E作EH⊥OC于H,
∵sin∠ADC=,
∴∠D=30°,
∴∠B=∠D=30°,
∴∠AOC=60°,
∵AB=8,
∴AO=BO=4,
∵AE=3,
∴OE=1,BE=5,
∵∠EHO=90°,
∴,
∴CH=,
,
∵弦CD與AB交于點E,
由相交弦定理得,AEBE=CEDE,
.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,﹣1),點B(9,﹣10),AC∥x軸,點P是直線AC上方拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB,AC分別交于點E,F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,點D是斜邊上一點,且AD=4BD.
(1)求tan∠BCD的值;
(2)過點B的⊙O與邊AC相切,切點為AC的中點E,⊙O與直線BC的另一個交點為F.
(ⅰ)求⊙O的半徑;
(ⅱ) 連接AF,試探究AF與CD的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2,3),B(3,1),C(5,4).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;
(2)以點P(1,﹣1)為位似中心,在如圖所示的網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2,使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2:1;
(3)畫出△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A′B′C′,并寫出線段BC掃過的面積
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【題目】在一個不透明的盒子里,裝有四個分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小米先從盒子中隨機取出一個小球,記下數(shù)字為x,且不放回盒子,再由小華隨機取出一個小球,記下數(shù)字為y.
(1)用列表法或畫樹狀圖表示出(x,y)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求小米、小華各取一次小球所確定的點(x,y)落在反比例函數(shù)y=的圖象上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點A,B的坐標(biāo)分別為(1,4)和(3,0),點C是y軸上的一個動點,且A,B,C三點不在同一條直線上,當(dāng)△ABC的周長最小時,點C的坐標(biāo)是____________.
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【題目】李老師為了了解班級學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體情況,對九(1)班部分學(xué)生進行了為期半個月的跟蹤調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分成四類,A:特別好;B:好;C;一般;D:較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,李老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中女生共有 名.
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)為了共同進步,李老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請求所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,以AB為直徑的半圓O交AC于點D,點E是上不與點B,D重合的任意一點,連接AE交BD于點F,連接BE并延長交AC于點G.
(1)求證:;
(2)填空:
①若,且點E是的中點,則DF的長為 ;
②取的中點H,當(dāng)的度數(shù)為 時,四邊形OBEH為菱形.
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