Question

如圖，已知拋物線y=-

3

4

x²+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，點A的橫坐標為-1，過點C（0，3）的直線y=

3

4t

x+3與x軸交于點Q，點P是BC上的動點，PH⊥OB于點H，若PB=5t，且0＜t＜1，
（1）確定b，c的值：b=

 

，c=

 

（2）寫出B，Q，P的坐標，（其中Q，P用含t的式子表示）
B（

 

，

 

），Q（

 

，

 

，）P（

 

，

 

）
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使△PQB是等腰三角形？若存在，求出所有t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線中即可求得待定系數(shù)的值．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求得B點的坐標，即可求出OB，BC的長，在直角三角形BPH中，可根據(jù)BP的長和∠CBO三角函數(shù)求出PH，BH的長，進而可求出OH的長，也就求出了P點的坐標．Q點的坐標，可直接由直線CQ的解析式求得．
（3）本題要分情況討論：
①PQ=PB，此時BH=QH=

1

2

BQ，在（2）中已經求得了BH的長，BQ的長可根據(jù)B、Q點的坐標求得，據(jù)此可求出t的值．
②PB=BQ，那么BQ=BP=5t，由此可求出t的值．
③PQ=BQ，已經求得了BH的長，可表示出QH的長，然后在Rt△PQH中，用BQ的表達式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值．

解答：解：（1）已知拋物線過A（-1，0）、C（0，3），則有：

- 3 4 -b+c=0 c=3

，
解得

b= 9 4 c=3

．
因此b=

9

4

，c=3．
故答案為：

9

4

，3；

（2）令拋物線的解析式中y=0，則有-

3

4

x²+

9

4

x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=4；
故B（4，0），OB=4，
因此BC=5，
在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
則sin∠CBO=

3

5

，cos∠CBO=

4

5

，
在Rt△BHP中，BP=5t，
因此PH=3t，BH=4t；
則OH=OB-BH=4-4t，
因此P（4-4t，3t）．
令直線的解析式中y=0，則有0=-

3

4t

x+3，解得：x=4t，
故Q（4t，0）．
故答案為：（4，0），（4t，0），（4-4t，3t）；

（3）存在t的值，有以下三種情況
①如圖1，當PQ=PB時，
∵PH⊥OB，則QH=HB，
∴4-4t-4t=4t，
∴解得：t=

1

3

，
②如圖2，當PB=QB得4-4t=5t，
∴解得：t=

4

9

，
③如圖3，當PQ=QB時，在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²，
∴（8t-4）²+（3t）²=（4-4t）²，
∴57t²-32t=0，
∴解得：t=

32

57

，t=0（舍去），
又∵0＜t＜1，
∴當t=

1

3

或

4

9

或

32

57

時，△PQB為等腰三角形．

點評：本題考查了二次函數(shù)的確定以及等腰三角形的判定等知識點．要注意的是（3）題中在不確定等腰三角形的腰和底的情況下腰分類討論，不要漏解．