【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合),過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足點(diǎn)為E,連接AE.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取到最大值時(shí),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′,求出P′的坐標(biāo),并判斷P′是否在該拋物線上.

【答案】(1) y=-x2-2x+3;(-1,4);(2)S=-x2-3x(-3<x<-1),S最大值(3)P′(,).點(diǎn)P′不在該拋物線上.

【解析】

試題分析:(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),則代入求得a,b,c,進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D.

(2)由P在AD上,則可求AD解析式表示P點(diǎn).由S△APE=PEyP,所以S可表示,進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值.

(3)由最值時(shí),P為(-,3),則E與C重合.畫(huà)示意圖,P'過(guò)作P'M⊥y軸,設(shè)邊長(zhǎng)通過(guò)解直角三角形可求各邊長(zhǎng)度,進(jìn)而得P'坐標(biāo).判斷P′是否在該拋物線上,將xP'坐標(biāo)代入解析式,判斷是否為yP'即可.

試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),

,

解得,

∴解析式為y=-x2-2x+3

∵-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為(-1,4).

(2)∵A(-3,0),D(-1,4),

∴設(shè)AD為解析式為y=kx+b,有,

解得,

∴AD解析式:y=2x+6,

∵P在AD上,

∴P(x,2x+6),

∴S△APE=PEyP=(-x)(2x+6)=-x2-3x(-3<x<-1),當(dāng)x=-時(shí),S取最大值

(3)如圖1,設(shè)P′F與y軸交于點(diǎn)N,過(guò)P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M,

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF,且P(-,3),

∴∠PFE=∠P′FE,PF=P′F=3,PE=P′E=,

∵PF∥y軸,

∴∠PFE=∠FEN,

∵∠PFE=∠P′FE,

∴∠FEN=∠P′FE,

∴EN=FN,

設(shè)EN=m,則FN=m,P′N(xiāo)=3-m.

在Rt△P′EN中,

∵(3-m)2+(2=m2

∴m=

∵S△P′EN=P′N(xiāo)P′E=ENP′M,

∴P′M=

在Rt△EMP′中,

∵EM=,

∴OM=EO-EM=,

∴P′(,).

當(dāng)x=時(shí),y=-(2-2+3=,

∴點(diǎn)P′不在該拋物線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,則折痕EF的長(zhǎng)為(

A.6 B.12 C.2 D.4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F(xiàn)是AM的中點(diǎn),EFAM,垂足為F,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E交DC于點(diǎn)N.

(1)求證:△ABM∽△EFA;

(2)若AB=12,BM=5,求DE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】寧波火車(chē)站北廣場(chǎng)將于2015年底投入使用,計(jì)劃在廣場(chǎng)內(nèi)種植A,B兩種花木共6600棵,若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍少600

1A,B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵?

2)如果園林處安排26人同時(shí)種植這兩種花木,每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵,應(yīng)分別安排多少人種植A花木和B花木,才能確保同時(shí)完成各自的任務(wù)?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】10分如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,2,直線y=x+3交AB,BC分別于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N

1求反比例函數(shù)的解析式;

2若點(diǎn)P在y軸上,且OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算(x-y) 2-(y+2x)( y-2x)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了解該校學(xué)生的課余活動(dòng)情況,抽樣調(diào)查了部分同學(xué),將所得數(shù)據(jù)處理后,制成折線統(tǒng)計(jì)圖(部分)和扇形統(tǒng)計(jì)圖(部分)如下:

(1)在這次研究中,一共調(diào)查了 名學(xué)生.

(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布折線圖;

(3)該校共有2200名學(xué)生,估計(jì)該校學(xué)生中愛(ài)好閱讀的人數(shù)大約是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知x2-40,求代數(shù)式x (x+1)2- x(x2+ x)- x-7的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,-4),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,2),將線段AB平移后得到線段A'B'.若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是(5,2),則點(diǎn)B'的坐標(biāo)是( )

A. (3,6)B. (37)C. (3,8)D. (64)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案