【題目】如圖:已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P點在AC上(與A、C不重合),Q在BC上.
(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時,求CP的長;
(2)當(dāng)△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時,求CP的長;
(3)試問:在AB上是否存在一點M,使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在,請簡要說明理由;若存在,請求出PQ的長.
【答案】(1) ;(2) ;(3)存在,和.
【解析】
(1)由于PQ∥AB,故△PQC∽△ABC,當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時,△CPQ與△CAB的面積比為1:2,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方,可求出CP的長;
(2)由于△PQC∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可用CP表示出PQ和CQ的長,進(jìn)而可表示出AP、BQ的長.根據(jù)△CPQ和四邊形ABQP的周長相等,可將相關(guān)的各邊相加,即可求出CP的長;
(3)因為不能確定哪個角是直角,故應(yīng)分類討論.
①當(dāng)∠MPQ=90°,且PM=PQ時.因為△CPQ∽△CAB,根據(jù)相似三角形邊長的比等于高的比,可求出PQ的值;
②∠PQM=90°時與①相同;
③當(dāng)∠PMQ=90°,且PM=MQ時,過M作ME⊥PQ,則ME=PQ,根據(jù)相似三角形邊長的比等于高的比,可求出PQ的值.
(1)∵PQ∥AB,
∴△PQC∽△ABC,
∵S△PQC=S四邊形PABQ,
∴S△PQC:S△ABC=1:2,
∴,
∴CP=CA=2;
(2)∵△PQC∽△ABC,
∴,
∴,
∴CQ=CP,
同理:PQ=CP,
∴l△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP,
I四邊形PABQ=PA+AB+BQ+PQ,
=4﹣CP+AB+3﹣CQ+PQ,
=4﹣CP+5+3﹣CP+CP,
=12﹣CP,
∴12﹣CP=3CP,
∴CP=12,
∴CP=;
(3)∵AC=4,AB=5,BC=3,
∴△ABC中AB邊上的高為,
①當(dāng)∠MPQ=90°,且PM=PQ時,
∵△CPQ∽△CAB,
∴,
∴,
∴PQ=;
②當(dāng)∠PQM=90°時與①相同;
③當(dāng)∠PMQ=90°,且PM=MQ時,
過M作ME⊥PQ,則ME=PQ,
∴△CPQ的高為﹣ME=﹣PQ,
∴,
∴,
∴PQ=.
綜合①②③可知:點M存在,PQ的長為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CD⊥AB,且CD2=ADDB,AE平分∠CAB交CD于F,∠EAB=∠B,CN=BE.①CF=BN;②∠ACB=90°;③FN∥AB;④AD2=DFDC.則下列結(jié)論正確的是( 。
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A,B為定點,定直線l//AB,P是l上一動點.點M,N分別為PA,PB的中點,對于下列各值:
①線段MN的長;
②△PAB的周長;
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大。
其中會隨點P的移動而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,CE⊥AD,且CE=BC,連接BE交對角線AC于點F,則∠EFC=_____°.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點P是AB上一動點(不與A,B重合),對角線AC,BD相交于點O,過點P分別作AC,BD的垂線,分別交AC,BD于點E,F(xiàn),交AD,BC于點M,N.下列結(jié)論:
①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF;⑤當(dāng)△PMN∽△AMP時,點P是AB的中點.
其中正確的結(jié)論有
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,切線DE交AC于點E.
(1)求證:∠A=∠ADE;
(2)若AD=8,DE=5,求BC的長.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為+1,對角線AC、BD相交于點O,AE平分∠BAC分別交BC、BD于E、F,
(1)求證:△ABF∽△ACE;
(2)求tan∠BAE的值;
(3)在線段AC上找一點P,使得PE+PF最小,求出最小值.
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【題目】如圖,一張矩形紙片ABCD,AD=9 cm,AB=12 cm,將紙片折疊使A,C兩點重合,那么折痕MN=________cm.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于點A、B,與y軸交于點C.過點A作AD⊥x軸于點D,AD=2,∠CAD=45°,連接CD,已知△ADC的面積等于6.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點E是點C關(guān)于x軸的對稱點,求△ABE的面積.
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