Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線y=-x²+bx+c交x軸于另一點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，交直線AB于點(diǎn)F，作PG⊥AB于點(diǎn)G．求出△PFG的周長(zhǎng)最大值；
（3）在拋物線y=ax²+bx+c上是否存在除點(diǎn)D以外的點(diǎn)M，使得△ABM與△ABD的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形，設(shè)P（m，-m²-2m+3）得到F（m，m+3），進(jìn)而得到PF=-m²-2m+3-m-3=-m²-3m，從而得到△PFG周長(zhǎng)為：-m²-3m+

2

（-m²-3m），配方后即可確定其最大值；
（3）當(dāng)DM₁∥AB，M₃M₂∥AB，且與AB距離相等時(shí)，根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等，分別求得直線DM₁解析式為：y=x+5和直線M₃M₂解析式為：y=x+1，聯(lián)立之后求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵直線AB：y=x+3與坐標(biāo)軸交于A（-3，0）、B（0，3），
代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+bx+c中

0=-9-3b+c 3=c

，
∴

b=-2 c=3

∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形，
設(shè)P（m，-m²-2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=-m²-2m+3-m-3=-m²-3m，
△PFG周長(zhǎng)為：-m²-3m+

2

（-m²-3m），
=-（

2

+1）（m+

3

2

）²+

9( 2 +1)

4

，
∴△PFG周長(zhǎng)的最大值為：

9( 2 +1)

4

．

（3）點(diǎn)M有三個(gè)位置，如圖所示的M₁、M₂、M₃，都能使△ABM的面積等于△ABD的面積．
此時(shí)DM₁∥AB，M₃M₂∥AB，且與AB距離相等，
∵D（-1，4），
∴E（-1，2）、則N（-1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直線DM₁解析式為：y=x+5，
直線M₃M₂解析式為：y=x+1，
∴x+5=-x²-2x+3或x+1=-x²-2x+3，
∴x₁=-1，x₂=-2，x₃=

-3+ 17

2

，x₄=

-3- 17

2

，
∴M₁（-2，3），M₂（

-3+ 17

2

，

-1+ 17

2

），M₃（

-3- 17

2

，

-1- 17

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中．