Question

7⁵¹²-1分解質(zhì)因數(shù)，2的次數(shù)是多少？

Answer 1

考點：質(zhì)因數(shù)分解,完全平方式,平方差公式

專題：因式分解

分析：可設(shè)7²+1=2k₁（其中k₁是奇數(shù)），運用完全平方公式可推出7⁴+1也是2的奇數(shù)倍，進(jìn)而可得72n+1（n是正整數(shù)）都是2的奇數(shù)倍，然后運用平方差公式就可解決問題．

解答：解：∵7²+1=50=2×25，
∴可設(shè)7²+1=2k₁（其中k₁是奇數(shù)）．
∴7⁴+1=（7²+1）²-2×7²×1
=（2k₁）²-2×7²
=4k₁²-2×7²
=2（2k₁²-7²）．
設(shè)k₂=2k₁²-7²，
則7⁴+1=2k₂，其中k₂是奇數(shù)．
同理可得：7⁸+1=2k₃，7¹⁶+1=2k₄，7³²+1=2k₅，7⁶⁴+1=2k₆，7¹²⁸+1=2k₇，7²⁵⁶+1=2k₈，其中k₃、k₄、k₅、k₆、k₇、k₈都是奇數(shù)．
∴7⁵¹²-1=（7-1）（7+1）（7²+1）（7⁴+1）（7⁸+1）（7¹⁶+1）（7³²+1）（7⁶⁴+1）（7¹²⁸+1）（7²⁵⁶+1）=2×3×2³×2k₁×2k₂×2k₃×2k₄×2k₅×2k₆×2k₇×2k₈=2¹²×3k₁k₂k₃k₄k₅k₆k₇k₈．
∵k₁、k₂、k₃、k₄、k₅、k₆、k₇、k₈都是奇數(shù)，
∴7⁵¹²-1分解質(zhì)因數(shù)，2的次數(shù)是12．

點評：本題是一道競賽題，主要考查了平方差公式、完全平方公式、質(zhì)因數(shù)等知識，而由7²+1是2的奇數(shù)倍推出7⁴+1也是2的奇數(shù)倍，進(jìn)而推出72n+1（n是正整數(shù)）都是2的奇數(shù)倍是解決本題的關(guān)鍵．