Question

如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x-2）²+k經(jīng)過點A、B，并與X軸交于另一點C，其頂點為P．
（1）求a，k的值；
（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標(biāo)；
（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）先求出直線y=-3x+3與x軸交點A，與y軸交點B的坐標(biāo)，再將A、B兩點坐標(biāo)代入y=a（x-2）²+k，得到關(guān)于a，k的二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)Q點的坐標(biāo)為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E．在Rt△AQF與Rt△BQE中，用勾股定理分別表示出AQ²=AF²+QF²=1+m²，BQ²=BE²+EQ²=4+（3-m）²，由AQ=BQ，得到方程1+m²=4+（3-m）²，解方程求出m=2，即可求得Q點的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點N在對稱軸上時，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對角線，根據(jù)拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)，得到M點與頂點P（2，-1）重合，N點為點P關(guān)于x軸的對稱點，此時，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形，在Rt△AFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長．

解答：解：（1）∵直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵拋物線拋物線y=a（x-2）²+k經(jīng)過點A（1，0），B（0，3），
∴

a+k=0 4a+k=3

，解得

a=1 k=-1

，
故a，k的值分別為1，-1；

（2）設(shè)Q點的坐標(biāo)為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E．
在Rt△AQF中，AQ²=AF²+QF²=1+m²，
在Rt△BQE中，BQ²=BE²+EQ²=4+（3-m）²，
∵AQ=BQ，
∴1+m²=4+（3-m）²，
∴m=2，
∴Q點的坐標(biāo)為（2，2）；

（3）當(dāng)點N在對稱軸上時，NC與AC不垂直，所以AC應(yīng)為正方形的對角線．
又∵對稱軸x=2是AC的中垂線，
∴M點與頂點P（2，-1）重合，N點為點P關(guān)于x軸的對稱點，其坐標(biāo)為（2，1）．
此時，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四邊形AMCN為正方形．
在Rt△AFN中，AN=

AF2+NF2

=

2

，即正方形的邊長為

2

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二元一次方程組的解法，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．