Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠BAC=2∠B，AC=6，過點A作⊙O的切線與OC的延長線交于P．
（1）求PA的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）求出∠ACB=90°，∠B=30°，∠BAC=60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PAO=90°，∠CAP=30°，推出△ACO是等邊三角形，得出∠COA=60°，AO=AC=6，求出∠P=30°，在Rt△PAO中解直角三角形求出即可；
（2）在Rt△BCA中，由勾股定理求出BC=6

3

，根據(jù)陰影部分的面積S=

1

2

S_圓O-S_△ACB代入求出即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
∴∠CAP=90°-60°=30°，
∵OC=OA，∠BAC=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠COA=60°，AO=AC=6，
∴∠P=90°-60°=30°，
在Rt△PAO中，tan30°=

OA

PA

，
∴PA=

6

tan30°

=6

3

；

（2）∵在Rt△BCA中，∠B=30°，AB=2×6=12，AC=6，
∴由勾股定理得：BC=6

3

，
∴陰影部分的面積S=

1

2

S_圓O-S_△ACB=

1

2

×π×6²-

1

2

×6×6

3

=18π-18

3

．

點評：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．