Question

如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），作AF⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADE∽△ABF；
（2）連接EF，M為EF的中點(diǎn)，AB=4，AD=2，設(shè)DE=x，
①求點(diǎn)M到FC的距離（用含x的代數(shù)式表示）；
②連接BM，設(shè)BM²=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出BM的長度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再求出∠ABF=∠D=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠DAE=∠BAF，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明；
（2）①取FC的中點(diǎn)H，連接MH，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MH∥DC，MH=

1

2

EC，然后表示出EC，即可得解；
②根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BF，再表示出FH，BH，然后利用勾股定理列式整理即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：（1）證明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；

（2）解：①如圖，取FC的中點(diǎn)H，連接MH，
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴MH∥DC，MH=

1

2

EC，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴MH⊥FC，即MH是點(diǎn)M到FC的距離，
∵DE=x，DC=AB=4，
∴EC=4-x，
∴MH=

1

2

EC=2-

1

2

x，
即點(diǎn)M到FC的距離為MH=2-

1

2

x；
②∵△ADE∽△ABF，
∴

DE

AD

=

BF

AB

，
∴

x

2

=

BF

4

，
∴BF=2x，F(xiàn)C=2+2x，F(xiàn)H=CH=1+x，
∴BH=|BF-HF|=|x-1|，
∵M(jìn)H=2-

1

2

x，
∴在Rt△MHB中，BM²=BH²+MH²=（2-

1

2

x）²+（x-1）²=

5

4

x²-4x+5，
∴y=

5

4

x²-4x+5（0＜x＜4）
∵y=

5

4

x²-4x+5=

5

4

（x²-

16

5

x+

64

25

）+5-

16

5

=

5

4

（x-

8

5

）²+

9

5

，
當(dāng)x=

8

5

時(shí)，BM²有最小值

9

5

，
此時(shí)，BM的最小值是

3 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出三角形的中位線．