Question

【題目】已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC的長是一元二次方程x2﹣15x+54=0的一個(gè)根．

（1）求AC的長；

（2）在AC上找一點(diǎn)D，連接BD，使△ABD∽△ACB；

（3）以AC為一邊作一個(gè)三角形ACM，求出sin∠AMC的值．（所作三角形自己設(shè)計(jì)）

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）見解析；當(dāng)AD=時(shí)，△ABD∽△ACB；（3）sin∠AMC=．

【解析】

（1）解一元二次方程x2-15x+54=0，可得x1=6，x2=9，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可得到AC的范圍，進(jìn)而得出AC的長；
（2）依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到AD的長，即可得出點(diǎn)D的位置；
（3）以AC為一邊作一個(gè)等邊三角形ACM，即可得到sin∠AMC的值，答案不唯一．

（1）解一元二次方程x2﹣15x+54=0，可得

x1=6，x2=9，

∵5﹣4＜AC＜5+4，

∴1＜AC＜9，

∵AC的長是一元二次方程x2﹣15x+54=0的一個(gè)根，

∴AC=6；

（2）如圖所示，當(dāng)△ABD∽△ACB時(shí)，

=，即AB2=AD×AC，

∴16=AD×6，

∴AD=，

∴當(dāng)AD=時(shí)，△ABD∽△ACB；

（3）如圖所示，以AC為一邊作一個(gè)等邊三角形ACM，則∠AMC=60°，

∴sin∠AMC=sin60°=．