Question

（1）如圖，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點E，CF⊥AD，垂足為點F，并且AE=DF.

求證：四邊形BECF是平行四邊形.

（2）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E。

①求證：⊿ADE∽⊿BCE；

②如果AD2=AE·AC，求證：CD=CB

 

 

Answer 1

1.證明見解析；2.（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：(1) 通過全等三角形（△AEB≌△DFC）的對應邊相等證得BE=CF，由“在同一平面內，同垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”證得BE∥CF．則四邊形BECF是平行四邊形．

(2) （1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE；

（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB．

試題解析：(1) ∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠D，

在△AEB與△DFC中，

，

∴△AEB≌△DFC（ASA），

∴BE=CF．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CF．

∴四邊形BECF是平行四邊形．

(2) （1）如圖，

∵∠A與∠B是對的圓周角，

∴∠A=∠B，

又∵∠1=∠2，

∴△ADE∽△BCE；

（2）如圖，

∵AD2=AE•AC，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠AED=∠ADC，

又∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

即∠AED=90°，

∴直徑AC⊥BD，

∴，

∴CD=CB．

考點：1.平行四邊形的判定；2.全等三角形的判定與性質；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質．