【題目】如圖,拋物線y=x2﹣2x+c的頂點(diǎn)A在直線l:y=x﹣5上.
(1)求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)),試判斷△ABD的形狀;
(3)在直線l上是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=﹣ =1,且頂點(diǎn)A在y=x﹣5上,
∴當(dāng)x=1時,y=1﹣5=﹣4,
∴A(1,﹣4).
(2)解:△ABD是直角三角形.
將A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,
∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)
當(dāng)y=0時,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3
∴C(﹣1,0),D(3,0),
BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,
BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.
(3)解:存在.
由題意知:直線y=x﹣5交y軸于點(diǎn)E(0,﹣5),交x軸于點(diǎn)F(5,0)
∴OE=OF=5,
又∵OB=OD=3
∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖,
過點(diǎn)P作y軸的垂線,過點(diǎn)A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G.
設(shè)P(x1,x1﹣5),則G(1,x1﹣5)
則PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4
∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),
存在點(diǎn)P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
【解析】(2)方法二:把A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,得c=﹣3,
∴y=x2﹣2x+3=(x﹣3)(x+1),
∴D(3,0),B(0,﹣3),A(1,﹣4),
KBD= =1,KAB= =﹣1,
∴KBDKAB=﹣1,
∴AB⊥BD,即△ABD為直角三角形.
【考點(diǎn)精析】利用平行線的判定和等腰三角形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,補(bǔ)充條件后仍不一定能保證△ABC≌△A′B′C′,則補(bǔ)充的這個條件是( )
A. BC=B′C′ B. ∠A=∠A′ C. AC=A′C′ D. ∠C=∠C′
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中滿足方程組.
(1)若點(diǎn)到軸的距離為6,則的值為_________;
(2)連接,線段沿軸方向向上平移到線段,則點(diǎn)到直線的距離為_______,線段掃過的面積為15,則點(diǎn)平移后對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_______;
(3)連接,,,若的面積小于等于12,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長方形OABC的邊OC、OA分別在x軸、y軸上,B點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),OC=8.
(1)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),在邊OC上以每秒1個單位長度的速度勻速向C點(diǎn)移動,同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),在邊BA上以每秒2個單位長度的速度勻速向A點(diǎn)移動,當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一個點(diǎn)隨之停止移動,設(shè)移動的時間為t秒鐘,探究下列問題:
① 當(dāng)t值為多少時,直線PQ∥y軸?
② 在整個運(yùn)動過程中,能否使得四邊形BCPQ的面積是長方形OABC的面積的?若能,請直接寫出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求證:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.(要求:畫出圖形,寫出已知,求證和證明過程)
(2)用(1)中的結(jié)論解決:如圖,△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BE平分∠ABC, 求證:點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于二次函數(shù)y=x2﹣2mx﹣3,下列結(jié)論錯誤的是( )
A.它的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)
B.方程x2﹣2mx=3的兩根之積為﹣3
C.它的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)
D.x<m時,y隨x的增大而減小
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,過點(diǎn)A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分別交CD,AB于點(diǎn)E,F(xiàn),則DE的長是( )
A.
B.
C.1
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù),例如:[3.5]=3,[4]=4,[-1.5]=-2;用{a}表示大于a的最小整數(shù),例如:{3.5}=4,{1}=2,{-2.5}=-2.解決下列問題:
(1)[-5.5]等于多少,{2.5}等于多少;
(2)若[x]=3,寫出x的取值范圍;若{y}=-2,寫出y的取值范圍.
(3)已知x,y滿足方程組,求x,y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,EG、EM、FM分別平分∠AEF,∠BEF,∠EFD,則圖中與∠DFM相等的角(不含它本身)的個數(shù)為( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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