Question

如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D，E是邊AC上的一點，且AE=AB，EF∥BC交AD于點F，求證：四邊形BDEF是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定

專題：證明題

分析：根據(jù)AD是∠BAC的平分線，得出∠CAD=∠DAE，在△ABD和△ADE中，根據(jù)全等三角形的判定得出△ABD≌△ADE和△BAF≌△EAF，得出BD=DE，BF=EF，在△BFD和△EDF中，再根據(jù)SSS得出△BFD≌△EDF，得出∠BFD=∠DFE，根據(jù)EF∥BC，得出∠DFE=∠FDC，從而得出∠BFD=∠BDF，即可得出BF=BD，從而得出四邊形BDEF是菱形．

解答：解：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠DAE，
在△ABD和△ADE中，

AE=AB ∠CAD=∠DAE AD=AD

，
∴△ABD≌△ADE，
∴BD=DE，
同理△BAF≌△EAF，
∴BF=EF，
在△BFD和△EDF中，

BD=DE DF=DF BF=EF

，
∴△BFD≌△EDF，
∴∠BFD=∠DFE，
又∵EF∥BC，
∴∠DFE=∠FDC，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BF=BD，
∴BF=BD=EF=DE，
∴四邊形BDEF是菱形．

點評：此題考查了菱形的判定，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與菱形的判定，判定菱形的方法常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．