Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10，CB=5，P，O分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，PO+PB的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N′在AB′上，這時(shí)，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距離BH′．

解答：解：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，作B′O⊥OB于O，交AC于P．
連結(jié)AB′，則O點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H′在AB′上，
∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，
∴AB′=AB，
∴∠AB′H=∠ABH．
這時(shí)，B到P到O的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距離BH′，
連結(jié)AB′和DC的交點(diǎn)E，
則S_△ABE=

1

2

×10×5=25，
由對(duì)稱知識(shí)，∠EAC=∠BAC=∠ECA，
所以EA=EC，令EA=x，則EC=x，ED=20-x，
在Rt△ADE中，
∵EA²=ED²+AD²，即x²=（10-x）²+5²，
∴x=

25

4

，
∵S_△ABE=

1

2

EA•BH′，
∴BH′=

2S△ABE

EA

=

25×2

25 4

=8．
在△BB′H′和△B′BQ中，

∠AB′H=∠ABH ∠BH′B′=∠B′QB BB′=B′B

，
∴△BB′H′≌△B′BQ（AAS），
∴BH′=B′Q=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，考查軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答此題時(shí)作出B點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱的點(diǎn)B′是解答此題的關(guān)鍵．