Question

如圖，頂角為36°的等腰三角形，其底邊與腰的比是k，這樣的三角形叫黃金三角形，已知腰長AB=1，△ABC為第一個黃金三角形，△BCD是第二個黃金三角形，△CDE是第三個黃金三角形，以此類推，第2006個黃金三角形的周長是

 

．（用含k的式子表示）

Answer 1

考點：黃金分割

專題：新定義

分析：先計算出BC=k，則得到第一個黃金三角形的周長=1+1+k=2+k，同樣得到第二個黃金三角形的周長=k（2+k），第三個黃金三角形的周長=k²（2+k），于是可根據(jù)此規(guī)律得到第2006個黃金三角形的周長．

解答：解：因為第一個黃金三角形的周長=1+1+k=2+k，
第二個黃金三角形的周長=2k+k²=k（2+k），
第三個黃金三角形的周長=2k²+k³=k²（2+k），
所以第2006個黃金三角形的周長是k²⁰⁰⁵（2+k）．
故答案為k²⁰⁰⁵（2+k）．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．