Question

（2013常德）如圖，已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．

（1）如圖（1），當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；

（2）如圖（1），若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長(zhǎng)；

（3）如圖（2），當(dāng)∠BCE＝45°時(shí)，求證：BM＝ME．

Answer 1

（1）證法一：如答圖（1），延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，∵△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，∴△BCD為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)．

又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，

∴BM為△ADF的中位線，

∴BM∥CF．

證法二：如答圖（2），延長(zhǎng)BM交EF于D，

∵∠ABC＝∠CEF＝90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM＝∠DFM．

∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM＝MF．

在△ABM和△FDM中，

∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF．

∵BE＝CE－BC＝CE－AB，DE＝EF－DF，∴BE＝DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°．

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，

∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF．

（2）解法一：如答圖（3）所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D．∵△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，∴△BCD為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)．

又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴．

分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEG為等腰直角三角形，

∴CE＝EF＝GE＝2a，，

∴點(diǎn)E為FG的中點(diǎn)．又點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，∴．

∵，，∴，

∴．

解法二：如答圖（3），延長(zhǎng)BM交EF于H．

由題易得EF∥AB．

又AM＝MF，

∴△ABM≌△FHM，∴BM＝HM，AB＝HF＝a．

又∵CE＝EF＝2a，∴BE＝EH＝a，

∴△BEH是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，

∴．

（3）證法一：如答圖（4），延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，AC＝CD，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)．又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴．

延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)．又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴．

在△ACG與△DCF中，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴AG＝DF，∴BM＝ME．

證法二：如答圖（5），延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，

∵∠BCE＝45°，∴∠ACD＝45°×2＋45°＝135°，

∴∠BAC＋∠ACF＝45°＋135°＝180°，∴AE∥CF，

∴∠BAM＝∠DFM．

∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，

∴AM＝FM，

在△ABM和△FDM中，

∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，BM＝DM，

∴AB＝BC＝DF．

在△BCE和△DFE中，

∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF，

∴∠BED＝∠BEC＋∠CED＝∠DEF＋∠CED＝∠CEF＝90°，

∴△BDE是等腰直角三角形．

叉∵BM＝DM，∴BM＝ME．

【解析】本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．