【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,點(diǎn)D為邊BC上的點(diǎn),連接AD,∠BAD=α,點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為G,線段EG交AB于點(diǎn)F,連接AE,DE,DG,AG.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)求∠AGE的度數(shù)(用含α的式子表示);
(3)用等式表示線段EG與EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)60°-α;(3)見解析
【解析】試題分析:根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可.
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得:AE=AG=AD. ∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,
∠EAG=2∠EAC=60°+2α,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),即可求出∠AGE的度數(shù).
設(shè)AC交EG于點(diǎn)H根據(jù)∠BAC=30°,∠AHF=90°,得到
又因點(diǎn)E,G關(guān)于AC對(duì)稱EG=2EH
試題解析:
(2)由軸對(duì)稱性可知,AB為ED的垂直平分線,AC為EG的垂直平分線.
∴AE=AG=AD.
∴∠AEG=∠AGE,∠BAE=∠BAD=α,
∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,
∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α,
∴
或:∠AGE=∠AEG=90°-∠EAC=90°-(∠BAC+∠EAB)=90°-(30°+α)=60°-α,
(3)EG=2EF+AF,
法1:設(shè)AC交EG于點(diǎn)H,
∵∠BAC=30°,∠AHF=90°,
∴
又∵點(diǎn)E,G關(guān)于AC對(duì)稱,
∴EG=2EH,
∴
法2:在FG上截取NG=EF,連接AN.
又∵AE=AG,
∴∠AEG=∠AGE,
∴△AEF≌△AGN,
∴AF=AN,
∵∠EAF=α,∠AEG=60°-α,
∴∠AFN=60°,
∴△AFN為等邊三角形,
∴AF=FN,
∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AD上,過P作PF⊥AE于F,設(shè)PA=x.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使得以點(diǎn)P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似?若存在,請(qǐng)求出x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)探究:當(dāng)以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出x滿足的條件: .
備用圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,邊長為2的正方形中,是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)、不重合),過點(diǎn)作,交射線于點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn).
(1)求證::
(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個(gè)不變的值,寫出解答過程:若變化,試說明理由:
(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,能否為等腰三角形?如果能,直接寫出此時(shí)的長;如果不能,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線l:y=﹣x2+bx+c(b,c為常數(shù)),其頂點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)或邊上,已知點(diǎn)A(1,2),B(1,1),C(2,1).
(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)_____________;
(2)若l經(jīng)過點(diǎn)B,C,求l的解析式;
(3)設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)l的頂點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),求線段MN的值;當(dāng)頂點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)或邊上時(shí),直接寫出線段MN的取值范圍;
(4)若l經(jīng)過正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn),直接寫出所有符合條件的c的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、BF分別是⊙O的直徑和弦,弦CD與AB、BF分別相交于點(diǎn)E、G,過點(diǎn)F的切線HF與DC的延長線相交于點(diǎn)H,且HF=HG.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若sin∠HGF=,BF=3,求⊙O的半徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,下列結(jié)論:
(1)c<0;
(2)b>0;
(3)4a+2b+c>0;
(4)(a+c)2<b2.
其中不正確的有( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里.
﹣(﹣2.5),(﹣1)2,﹣|﹣2|,﹣22,0, ,﹣1.5;
正數(shù)集合{ …}
分?jǐn)?shù)集合{ …}
(2)把表示上面各數(shù)的點(diǎn)畫在數(shù)軸上,再按從小到大的順序,用“<“號(hào)把這些數(shù)連接起來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A(3,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中線段PD長度的最大值;
(3)△APD能否構(gòu)成直角三角形?若能請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo),若不能請(qǐng)說明理由;
(4)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MA﹣MC|最大?若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“愛我中華”中學(xué)生演講比賽中,五位評(píng)委分別給甲、乙兩位選手的評(píng)分如下:甲:8,7,9,8,8;乙:7,9,6,9,9,則下列說法中錯(cuò)誤的是( 。
A. 甲得分的方差比乙得分的方差小B. 甲得分的眾數(shù)是8,乙得分的眾數(shù)是9
C. 甲、乙得分的平均數(shù)都是8D. 甲得分的中位數(shù)是9,乙得分的中位數(shù)是6
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