Question

如圖1是一副三角尺拼成的圖案，三角尺的3個(gè)角的頂點(diǎn)是A、C、B，記作“三角尺ACB”；三角尺的3個(gè)角的頂點(diǎn)是E、B、D，記作“三角尺EBD”，且∠ACB=∠EBD=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠EDB=45°．
（1）圖1中∠EBC=

 

；
（2）如圖1，三角尺BED不動(dòng)，將三角尺ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）．
①當(dāng)∠ABE=2∠DBC時(shí)，求∠ABD的度數(shù)（圖2，圖3，圖4供參考）．
②當(dāng)∠ABD等于多少度時(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊所在的直線互相垂直，直接寫(xiě)出∠ABD角度所有可能的值，不用說(shuō)明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和為180°）

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：（1）∠EBC是由一個(gè)直角和一個(gè)60°的角組成的；
（2）①分不同方向旋轉(zhuǎn)，求得α，等量關(guān)系為∠ABE=2∠DBC，應(yīng)用α表示出這個(gè)等量關(guān)系，進(jìn)而求解；
②分別利用CE⊥AD，BE⊥CD，BE⊥AD分別求出即可．

解答：解：（1）∠EBC=∠ABC+∠EBD=60°+90°=150°．

（2）①第一種情況：
若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜60°），如圖2：
據(jù)題意得90°-α=2（60°-α），
得α=30°，
∴∠EBC=90°+（60°-30°）=120°，
∴∠DBC=120°-90°=30°，
∴∠ABD=60°-30°=30°；
第二種情況，若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（60°≤α＜90°），
據(jù)題意得90°-α=2（α-60°），
得α=70°，
∴∠EBC=90°-（70°-60°）=80°，
∴∠DBC=90°-80°=10°，
∵∠ABD=60°+10°=70°；
第三種情況：若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，如圖3，
據(jù)題意得90°+α=2（60°+α），
得α=-30°
∵0＜α＜90°，α=-30°不合題意，舍去．
②CE⊥AD時(shí)，α=30°，
BE⊥CD時(shí)，α=45°，
BE⊥AD時(shí)，α=75°．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是用必須的量表示出題中的等量關(guān)系，把所求的角進(jìn)行合理分割；以及互補(bǔ)、互余的定義等知識(shí)，．