Question

定理：若x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+n=0的兩實根，則有x₁+x₂=-m，x₁x₂=n．請用這一定理解決問題：已知x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的兩實根，且（x₁+1）（x₂+1）=9，求k的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：根據(jù)判別式的意義得到△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0，解得k≥

1

2

，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系由（x₁+1）（x₂+1）=9得到2（k+1）+k²+2+1=9，然后解此方程求出滿足條件的k的值．

解答：解：根據(jù)題意得△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0，
解得k≥

1

2

，
∵x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²+2，
而（x₁+1）（x₂+1）=9，即x₁+x₂+x₁•x₂+1=9，
∴2（k+1）+k²+2+1=9，
整理得k²+2k-4=0，解得k₁=

5

-1，k₂=-

5

-1，
而∴k=

5

-1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式．