Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且OA=

13

．
（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過(guò)DC的中點(diǎn)E，求直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若直線AE與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，請(qǐng)你探索線段AN與線段ME的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入計(jì)算即可，
（2）根據(jù)E是DC的中點(diǎn)，E的縱坐標(biāo)已知，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（3）首先求得M、N的坐標(biāo)，延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的長(zhǎng)，即可證得．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵OB=2，OA=

13

，
∴AB=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），
∴k=xy=6；

（2）∵DC由AB平移得到，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為

3

2

，
∵點(diǎn)E在雙曲線上，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，

3

2

），
設(shè)直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x+b，將點(diǎn)A、E代入得：

3=2k1+b 3 2 =4k1+b

，
解得k₁=-

3

4

，b=

9

2

，
∴直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+

9

2

．

（3）結(jié)論：AN=ME；
理由：由y=0可得x=6，由x=0可得y=

9

2

，
則點(diǎn)M（6，0），N（0，

9

2

），
延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=

3

2

，
∵CM=6-4=2=AF，EC=NF，
在Rt△ANF和Rt△MEC中，

AF=CM ∠NFA=∠ECM EC=NF

，
∴Rt△ANF≌Rt△MEC，
∴AN=ME．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．