Question

【題目】如圖，在△ABC中，E為BC邊上一點，以BE為直徑的AR半圓D與AC相切于點F，且EF∥AD，AD交半圓D于點G．

（1）求證：AB是半圓D的切線；

（2）若EF＝2，AD＝5，求切線長AB．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接DF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到DF⊥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EFD＝∠FED，求得∠ADF＝∠ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠AFD＝90°，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，設(shè)CE＝2x，于是得到CD＝5x，DF＝DE＝3x，根據(jù)勾股定理得到CF＝4x，于是得到AF＝6x，在Rt△ADF中根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接DF，

∵AC與半圓D相切于點F，

∴DF⊥AC，

∴∠AFD＝90°，

∵EF∥AD，

∴∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，

又∵DF＝DE，

∴∠EFD＝∠FED，

∴∠ADF＝∠ADB，

在△ABD與△AFD中,

∴△ABD≌△AFD （SAS），

∴∠ABD＝∠AFD＝90°，

∴AB是半圓D的切線；

（2）解：∵EF∥AD，

∴△CFE∽△CAD，

∴，

設(shè)CE＝2x，

∴CD＝5x，DF＝DE＝3x，

∴在Rt△DFC中，由勾股定理得CF＝4x，

∴AF＝6x，

在Rt△ADF中，（6x）2+（3x）2＝52，

解得x＝，

∴AB＝AF＝6x＝．