Question

如圖，分別以等腰直角三角形ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓．
（1）設(shè)AD=4，求三個半圓的面積之和．
（2）設(shè)AD=m，用含有m的式子表示兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和；
（3）兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和等于Rt△ACD的面積．
（4）變式：如果△ACD只是一般直角三角形，那么（3）中的結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：（1）直接利用圓的面積公式求出即可；
（2）由勾股定理可得AC²+CD²=AD²，然后確定兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和等于Rt△ACD的面積，從而求出；
（3）由勾股定理可得AC²+CD²=AD²，然后確定出S_半圓ACD=S_半圓AEC+S_半圓CFD，從而得證；
（4）由勾股定理可得AC²+CD²=AD²，然后確定出S_半圓ACD=S_半圓AEC+S_半圓CFD，從而得證．

解答：解：（1）∵AD=4，∠ACD=90°，
∴AC=BC=2

2

，
∴三個半圓的面積之和為：

1

2

π×2²+

1

2

π×（

2

）²+

1

2

π×（

2

）²=4π；

（2）∵△ACD是直角三角形，
∴AC²+CD²=AD²，
∵以等腰Rt△ACD的邊AD、AC、CD為直徑畫半圓，
∴S_半圓ACD=

1

2

π•

1

4

AD²，S_半圓AEC=

1

2

π•

1

4

AC²，S_半圓CFD=

1

2

π•

1

4

CD²，
∴S_半圓ACD=S_半圓AEC+S_半圓CFD，
∴所得兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于Rt△ACD的面積
∵AD=m，則BC=

1

2

m，
∴陰影部分面積為：

1

2

×m×

m

2

=

m2

4

；

（3）證明：∵△ACD是直角三角形，
∴AC²+CD²=AD²，
∵以等腰Rt△ACD的邊AD、AC、CD為直徑畫半圓，
∴S_半圓ACD=

1

2

π•

1

4

AD²，S_半圓AEC=

1

2

π•

1

4

AC²，S_半圓CFD=

1

2

π•

1

4

CD²，
∴S_半圓ACD=S_半圓AEC+S_半圓CFD，
∴所得兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于Rt△ACD的面積．

（4）如果△ACD只是一般直角三角形，那么（3）中的結(jié)論還成立．
理由：∵△ACD是直角三角形，
∴AC²+CD²=AD²，
∵以Rt△ACD的邊AD、AC、CD為直徑畫半圓，
∴S_半圓ACD=

1

2

π•

1

4

AD²，S_半圓AEC=

1

2

π•

1

4

AC²，S_半圓CFD=

1

2

π•

1

4

CD²，
∴S_半圓ACD=S_半圓AEC+S_半圓CFD，
∴所得兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于Rt△ACD的面積．

點評：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和圓的面積求法等知識，是基礎(chǔ)題，熟記定理是解題的關(guān)鍵．