Question

如圖，點(diǎn)E為邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC的BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C重合），以AE為邊作等邊△AEF，求△AEF面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),垂線段最短

專題：

分析：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最短，△AEF面積最小，先求出AE和△ABC的面積，再根據(jù)△AEF∽△ABC，得出面積比等于相似比的平方即可求出△AEF面積的最小值．

解答：解：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最短，△AEF面積最��；
∵△ABC是等邊三角形，AE⊥BC，AB=4，
∴∠B=60°，AE=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∵△AEF是等邊三角形，
∴△AEF∽△ABC，
∴

S△AEF

S△ABC

=(

AE

AB

)2=(

2 3

4

)2=

3

4

，
即

S△AEF

4 3

=

3

4

，
∴S△AEF=3

3

；
即△AEF的最小值為3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和垂線段最短；由題意得出當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最短，△AEF面積最小是解題的關(guān)鍵．