Question

（1）班同學上數(shù)學活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）．設計了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請說明理由．

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少證明三角形全等的條件，

∵只有OP=OP，PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN；

∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線；

方案（Ⅱ）可行．

證明：在△OPM和△OPN中，

，

∴△OPM≌△OPN（SSS），

∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對應角相等）；

∴OP就是∠AOB的平分線．

（2）當∠AOB是直角時，此方案可行；

∵四邊形內(nèi)角和為360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，

∴∠AOB=90°，

∵PM=PN，

∴OP為∠AOB的平分線．（到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上），

當∠AOB不為直角時，此方案不可行；

因為∠AOB必為90°，如果不是90°，則不能找到同時使PM⊥OA，PN⊥OB的點P的位置．