【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx的圖象過點(diǎn)A(4,0),頂點(diǎn)為B,連接AB、BO.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若C是BO的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AB上,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)為B',當(dāng)△OCB'為等邊三角形時(shí),求BQ的長度;

(3)若點(diǎn)D在線段BO上,OD=2DB,點(diǎn)E、F在△OAB的邊上,且滿足△DOF與△DEF全等,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x;(2)BQ=;(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,0)或()或(2+,2﹣)或(4,0).

【解析】

試題(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)先求出OB和AB的長,根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠ABO=90°,由對稱計(jì)算∠QCB=60°,利用特殊的三角函數(shù)列式可得BQ的長;

(3)因?yàn)镈在OB上,所以F分兩種情況:

i)當(dāng)F在邊OA上時(shí),ii)當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),

當(dāng)F在邊OA上時(shí),分三種情況:

①如圖2,過D作DF⊥x軸,垂足為F,則E、F在OA上,②如圖3,作輔助線,構(gòu)建△OFD≌△EDF≌△FGE,③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點(diǎn)E;當(dāng)點(diǎn)F在OB上時(shí),過D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,依次求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可.

試題解析:(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得:﹣×42+4b=0,解得b=2,

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x.

(2)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣2)2+2,

∴B(2,2),拋物線的對稱軸為x=2.

如圖1所示:

由兩點(diǎn)間的距離公式得:OB= =2,BA= =2

∵C是OB的中點(diǎn),

∴OC=BC=

∵△OB′C為等邊三角形,

∴∠OCB′=60°.

又∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于CQ對稱,

∴∠B′CQ=∠BCQ=60°.

∵OA=4,OB=2,AB=2

∴OB2+AB2=OA2,

∴∠OBA=90°.

在Rt△CBQ中,∠CBQ=90°,∠BCQ=60°,BC=

∴tan60°= ,

∴BQ=CB=×=

(3)分兩種情況:

i)當(dāng)F在邊OA上時(shí),

①如圖2,過D作DF⊥x軸,垂足為F,

∵△DOF≌△DEF,且E在線段OA上,

∴OF=FE,

由(2)得:OB=2,

∵點(diǎn)D在線段BO上,OD=2DB,

∴OD=OB=

∵∠BOA=45°,

∴cos45°=

∴OF=ODcos45°= =,

則OE=2OF=,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0);

②如圖3,過D作DF⊥x軸于F,過D作DE∥x軸,交AB于E,連接EF,過E作EG⊥x軸于G,

∴△BDE∽△BOA,

=,

∵OA=4,

∴DE=

∵DE∥OA,

∴∠OFD=∠FDE=90°,

∵DE=OF=,DF=DF,

∴△OFD≌△EDF,

同理可得:△EDF≌△FGE,

∴△OFD≌△EDF≌△FGE,

∴OG=OF+FG=OF+DE=+=,EG=DF=ODsin45°=

∴E的坐標(biāo)為(,);

③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點(diǎn)E,

過B作BM⊥x軸于M,過E作EN⊥BM于N,

由翻折的性質(zhì)得:△DOF≌△DEF,

∴OD=DE=,

∵BD=OD=,

∴在Rt△DBE中,由勾股定理得:BE= =,

則BN=NE=BEcos45°=×=,

OM+NE=2+,BM﹣BN=2﹣,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(2+,2﹣);

ii)當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),

過D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,

∵DF∥x軸,

∴△BDF∽△BOA,

,

由拋物線的對稱性得:OB=BA,

∴BD=BF,

則∠BDF=∠BFD,∠ODF=∠AFD,

∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF,

則△DOF≌△DAF,

∴E和A重合,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0);

綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,0)或()或(2+,2﹣)或(4,0).

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第二環(huán)節(jié):成語聽寫、詩詞對句、經(jīng)典通讀(分別用表示)

1)請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果

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求作:直線PQ,使得PQl

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③作直線PQ

所以直線PQ就是所求作的直線.

根據(jù)小希設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖步驟完成下列問題:

1)在圖1中使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

2)證明:PQl

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