Question

通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補(bǔ)充完整。

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線。

根據(jù)__ __________，易證△AFG≌_ _______，得EF=BE+DF。

（2）類比引申

如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系_ ___時，仍有EF=BE+DF。

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。

 

 

Answer 1

(1)SAS ,△AFE；(2)∠B +∠D=180°；(3)BD2+EC2=DE2.

【解析】

試題分析：(1)把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到EF=BF+DF；

（2）∠B +∠D=180°時，EF=BF+DF，與（1）的證法類同；

（3）把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合得到∠ECG=90°，所以EC2+CG2=EG2.易證△AEG≌△AED.得DE=EG. 又CG=BD,故BD2+EC2=DE2.

(1)SAS ,△AFE

(2)∠B +∠D=180°

(3)解：BD2+EC2=DE2.

∵AB=AC，

∴把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合.

∵△ABC中，∠BAC=90°.

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.

∴EC2+CG2=EG2.

在△AEG與△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,

又∵AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED.

∴DE=EG.

又∵CG=BD,

∴BD2+EC2=DE2.

考點：幾何變換綜合題.