Question

已知⊙O中弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PO平分∠APD，則下列結(jié)論中不正確的是（　　）

• A、AB=CD
• B、

  AC

  =

  BD

• C、PA=PD
• D、

  AC

  =

  BC

Answer 1

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，如圖，連結(jié)OA、OD，根據(jù)垂徑定理得AE=BE，CF=DF，再根據(jù)角平分線定理得OE=OF，于是利用“HL”可證明Rt△AOE≌Rt△DOF，Rt△POE≌Rt△POF，得到AE=DF，PE=PF，易得AB=CD，PA=PD，則可對(duì)A選項(xiàng)和C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系有AB=CD得

AB

=

CD

，易得

AC

=

BD

，則可對(duì)B選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

解答：解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，如圖，連結(jié)OA、OD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∵PO平分∠APD，
∴OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△DOF中，

OE=OF OA=OD

，
∴Rt△AOE≌Rt△DOF，
∴AE=DF，
∴AB=CD，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；
∴

AB

=

CD

，
∴

AB

-

BC

=

CD

-

BC

，
即

AC

=

BD

，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確，D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；
在Rt△POE和Rt△POF中，

OE=OF PO=PO

，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∴AE+PE=DF+PF，
即PA=PD，所以C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了角平分線定理、垂徑定理和三角形全等的判定與性質(zhì)．