Question

已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF．

（1）如圖①，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（只需寫出三種情況）：
①

 

；②

 

；③

 

．
（2）如圖②，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線．
（3）如圖③，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠ABC，EF還是⊙O的切線嗎？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)解釋原因．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的判斷由AB⊥EF或∠BAE=90°可判斷EF為⊙O的切線；
當(dāng)∠ABC=∠EAC，根據(jù)圓周角定理得∠ABC+∠CAB=90°，所以∠EAC+∠CAB=90°，即AB⊥EF，于是也可判斷EF為⊙O的切線；
（2）作直徑AD，連結(jié)CD，由AD為直徑得∠ACD=90°，則∠D+∠CAD=90°，根據(jù)圓周角定理得∠D=∠B，而∠CAE=∠B，所以∠CAE=∠D，則∠EAC+∠CAD=90°，根據(jù)切線的判定定理得到EF為⊙O的切線；
（3）作直徑AD，連結(jié)CD，BD，由AD為直徑得∠ABD=90°，而∠CAE=∠ABC，即∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，而∠DAC=∠DBC，所以∠DAE=∠ABD=90°，
根據(jù)切線的判定即可得到EF為⊙O的切線．

解答：（1）解：當(dāng)AB⊥EF或∠BAE=90°可判斷EF為⊙O的切線；
當(dāng)∠ABC=∠EAC，∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；
故答案為AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）證明：如圖2，作直徑AD，連結(jié)CD，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠D，
∴∠EAC+∠CAD=90°，
∴AD⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；

（3）如圖3，作直徑AD，連結(jié)CD，BD，
∵AD為直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠CAE=∠ABC，
∴∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，
而∠DAC=∠DBC，
∴∠DAE=∠ABD=90°，
∴AD⊥EF，
∴EF為⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．