Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)也在該拋物線上，請(qǐng)用含的關(guān)系式表示；

（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)、都滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為、（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），且有一個(gè)內(nèi)角為，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且、、三點(diǎn)共線，求證：平分．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）把點(diǎn)、代入拋物線解析式，然后整理函數(shù)式即可得到答案．

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸為軸、開口向上，進(jìn)而可得出，由拋物線的對(duì)稱性可得出為等腰三角形，結(jié)合其有一個(gè)的內(nèi)角可得出為等邊三角形，設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出值，此題得解；

（3）由（1）的結(jié)論可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，、點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由、、三點(diǎn)共線可得出，進(jìn)而可得出點(diǎn)及點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)在直線上，進(jìn)而即可證出平分．

解：（1）把點(diǎn)、分別代入，得

．

所以．

（2），如圖1，

當(dāng)時(shí)，，

，，

當(dāng)時(shí)，隨的增大而減��；

同理：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，

拋物線的對(duì)稱軸為軸，開口向上，

．

為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為、，

為等腰三角形，

又有一個(gè)內(nèi)角為，

為等邊三角形．

設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，則，且，

又，

，．

不妨設(shè)點(diǎn)在軸右側(cè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

點(diǎn)在拋物線上，且，，

，

，

拋物線的解析式為．

（3）證明：由（1）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

如圖2，直線的解析式為．

、、三點(diǎn)共線，

，，且，

，

，

，即，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，

，

直線的解析式為．

，

點(diǎn)在直線上，

平分．