Question

【題目】已知一次函數(shù)y＝﹣x+m的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)有且只有一個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的值為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

根據(jù)題意以AB為直徑是圓與x軸相切于點(diǎn)P，根據(jù)直線的解析式即可證得△COD是等腰直角三角形，進(jìn)而求得AB＝m，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得MC＝BM＝m，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出m＝2，解方程求得即可．

設(shè)直線y＝﹣x+m交x、y軸分別為C、D，

∴OD＝OC＝m，

∴△COD是等腰三角形，CD＝ m，

∴∠OCD＝45°，

∵點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，有且只有一個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，

∴以AB為直徑是圓與x軸相切于點(diǎn)P，

設(shè)AB的中點(diǎn)為I，

∴IP⊥x軸，IA＝IC＝m，

∵I是CD的中點(diǎn)，

∴IP＝OD＝m，

∴IB＝m，

∴BC＝IC﹣IB＝m，

∵BM∥IP，

∴，即

∴BM＝m

∵△BMC是等腰直角三角形，

∴MC＝BM＝m，

∴OM＝m﹣m＝m，

∴B（，m），

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴m＝2

解得m＝4或m＝﹣4（舍去），

故答案為4．